Bijna alle nummers zijn normaal! Als je geen wiskundige bent, klinkt dit misschien nogal dwaas voor je… Als je denkt dat wiskundigen sowieso niet bizar zijn, kun je je op zijn minst afvragen wat de zin zou kunnen betekenen. Het klinkt in eerste instantie raar omdat "bijna allemaal" en "normaal " niet als informele woorden worden gebruikt, maar als technische termen met een precieze betekenis. In deze video leg ik die termen uit. Ondanks hun naam zijn gewone getallen fascinerend. Na een informele inleiding zal ik de titel van de video daadwerkelijk bewijzen – wat een wiskundige stelling is. Het bewijs is heel gemakkelijk en toegankelijk en voor zover ik weet was het tot voor kort niet bekend. Dus, wat zijn normale getallen? Er is een website mypiday.com waar je een datum kunt invoeren, zoals de verjaardag van Frank Zappa. De site zal u dan laten zien waar de datum verschijnt in de cijfers van π. Zappa's geboortedag is dus te vinden tussen de eerste half miljoen cijfers van π. Maar hoe kunnen de mensen achter mypiday.com er zo zeker van zijn dat ze een datum vinden binnen de cijfers van π? Dat komt omdat wordt aangenomen – zonder bewijs tot nu toe – dat π normaal is.

Als π echt normaal is, zijn er meer interessante gevolgen: kies een muziekstuk op je pc en kijk naar de bitvolgorde van het bestand. Als π normaal is, verschijnt de bitreeks ergens in de binaire cijfers van π. Net als een elegant bewijs van de Riemann-hypothese – als die er is! Helaas vind je ook alle verkeerde bewijzen waarvan ik sommige regelmatig per e-mail ontvang… De titel van de dia toont een URL om de binaire cijfers van π te berekenen. Maar wees niet te optimistisch. Hoewel het niet onwaarschijnlijk is dat je favoriete liedje of boek in de cijfers van π te vinden is, duurt het zoeken zo lang dat je het boek beter in een gewone boekhandel kunt kopen. Dat was de voorlopige introductie van "normaliteit". We zullen later een precieze definitie hebben. Maar eerst de technische term "bijna allemaal".

In wiskunde betekent dat: Er zijn enkele uitzonderingen, maar zo weinig dat ze niet relevant zijn. De precieze betekenis hangt af van de context. In ons geval is het zo bedoeld: Kies een interval van de getallenlijn zoals bijvoorbeeld [0,1]. Stel je nu een oneindig kleine punt van een naald voor en gebruik deze om willekeurig een getal in je interval te kiezen. De kans op het kiezen van een niet-normaal getal is dan nul. Maar dat betekent niet dat dergelijke nummers niet bestaan! Ze zijn gewoon heel zeldzaam. In de waarschijnlijkheidstheorie zou je zeggen dat je "bijna nooit" een niet-normaal getal kiest.

Ik geef toe dat dit niet erg nuttig is, om "bijna nooit" te gebruiken om "bijna allemaal" uit te leggen. Zonder enige achtergrond in waarschijnlijkheidstheorie is het moeilijk te verteren dat iets niet helemaal onmogelijk is als de kans nul is. Maar een betere verklaring weet ik niet. Om John von Neumann te parafraseren: aan sommige dingen in de wiskunde moet je gewoon wennen… Maar ik hoop dat de dingen veel duidelijker zullen worden als we alle begrippen definiëren en de stelling daadwerkelijk bewijzen. Ik zal eerst zeggen wat je moet weten om de rest te begrijpen. Het is niet veel. En zoals gewoonlijk vind je dit allemaal ergens in dit kanaal (zij het in het Duits). Je hebt een beetje combinatoriek nodig. Je zou bijvoorbeeld het aantal manieren moeten kunnen berekenen om 6 van de 49 nummers te kiezen. Dat zou het aantal mogelijke uitkomsten zijn in de populairste loterij van Duitsland. Hiervoor heb je binominale coëfficiënten nodig en dat leidt tot de binominale stelling die je misschien nog kent van school.

Je hebt ook een beetje analyse nodig (calculus). Maar het is voldoende als je weet wat reeksen zijn en bekend bent met de meetkundige reeksen. En je zou polynomen moeten kunnen differentiëren. We hebben wat verzamelingenleer nodig. We gebruiken vakbonden en intersecties en we werken soms met oneindig veel sets. Je moet ook weten wat "telbaar" betekent. Ten slotte moet u zich bewust zijn van de positionele notatie die we allemaal dagelijks gebruiken.

We zullen het vooral hebben over de cijfers achter het radixpunt. Als je niet huiverde toen ik de binaire cijfers van π noemde, dan zit je goed. Ik zal niet altijd zo nauwkeurig zijn als in een wiskundecollege. Als je meer details wilt, bevat de videobeschrijving een link naar een artikel met meer informatie. Laten we beginnen met wat maattheorie. Ik verwacht niet dat je de maattheorie kent, en ik zal alleen de absolute basis uitleggen. Net genoeg om het begrip "bijna allemaal" te begrijpen. Als je meer wilt weten – vooral over de geschiedenis en de moeilijkheden die ermee gepaard gaan – bekijk dan mijn video over Vitali-sets waarin ik inga op niet-meetbaarheid. We gaan werken met de Lebesgue-maat, genoemd naar de Franse wiskundige Henri Lebesgue. In plaats van het precies te definiëren, som ik alleen de belangrijkste eigenschappen op – die gelukkig vrij intuïtief zijn. Het fundamentele idee is om een ​​"maat" toe te kennen aan een verzameling A van reële getallen: een niet-negatief getal dat doorgaans wordt geschreven als λ(A). Dit getal is bedoeld om de "maat" van de set A weer te geven.

De video over Vitali sets laat zien dat niet elke set zo'n maat toegewezen kan krijgen. Maar daar hoeven we ons vandaag niet druk over te maken. We kunnen in ieder geval die sets meten waarmee we gewoonlijk werken en die we ons kunnen voorstellen. In het bijzonder is de maat van een interval wat je de "lengte" zou kunnen noemen: de afstand tussen de eindpunten. De Lebesgue-maat is ook "additief". De som van de maten van twee onsamenhangende verzamelingen is de maat van hun vereniging. In het onderstaande diagram heeft de vereniging van het groene en het oranje interval maat 4 – wat redelijk lijkt. Nog een redelijke eigenschap: de maat van A is niet groter dan die van B als A een deelverzameling is van B.

Dit is eigenlijk een direct gevolg van het feit dat λ additief is. Misschien wil je de video pauzeren om dit te bewijzen. Een ander gevolg dat je misschien al hebt opgemerkt: eindige verzamelingen moeten de maat nul hebben. Een rechtvaardiging van dit feit is dat singleton-sets intervallen zijn met een lengte van nul. Een tweede rechtvaardiging is dat de lengte van een interval niet verandert als we de eindpunten verwijderen. Vanwege de additiviteit kunnen de eindpunten niet bijdragen aan de meting van het interval. En als afzonderlijke punten op de getallenlijn de maat nul hebben, impliceert de som dat sets van 2, 3 of 42 punten ook de maat nul hebben. Maar de Lebesgue-maat heeft een nog krachtigere eigenschap dan additiviteit – het is "σ-additief": dat is additiviteit voor telbaar veel onderling onsamenhangende verzamelingen. De som verandert in een reeks in het oneindige geval. Laten we naar het onderstaande voorbeeld kijken. Het blauwe interval heeft maat 1. De oranje heeft maat 1/2, de groene maat 1/4, enzovoort. Het diagram toont slechts 8 intervallen, maar stel je voor dat er oneindig veel zijn die elkaar raken zonder elkaar te overlappen.

Elk interval heeft de helft van de lengte van zijn linkerbuur. Dit zal het interval [0,2] volledig vullen en dus zou de totale maat 2 moeten zijn. Vanwege de σ-additiviteit is dit inderdaad waar. In de weergegeven vergelijking hebben we 2 aan de linkerkant als de maat van de unie [0,2] en 2 aan de rechterkant als de som van de meetkundige reeks. Vanaf nu zullen we vooral geïnteresseerd zijn in "null sets" – sets van maat nul. Deze kunnen als volgt worden gekarakteriseerd: Een set B is een nulset iff, voor elke positieve ε kunnen we een reeks intervallen vinden waarvan de unie B omvat en met een totale maat niet groter dan ε.

Ik zal dit niet bewijzen, maar ik denk dat het vrij intuïtief is. Wat misschien niet zo intuïtief is, is dat elke telbare verzameling – zelfs als deze uit oneindig veel getallen bestaat – een nulverzameling is. Dat omvat de verzameling rationale getallen. Een poëtische manier om dit te bekijken is dat de rationale getallen de hele getallenlijn bedekken als stof – dat zo fijn is dat het geen gewicht heeft. De stelling is eenvoudig te bewijzen met behulp van de karakterisering van hierboven. Als we een telbare verzameling hebben, kunnen we deze opsommen als a_1, a_2, a_3, enzovoort. De eerste zes elementen van zo'n opsomming worden hier getoond. Nu doen we iets vergelijkbaars met wat we op de laatste dia deden. We wikkelen een interval (de blauwe) rond het eerste getal. Het oranje interval bedekt het tweede cijfer en is half zo lang als het eerste.

We wikkelen het groene interval rond het 3e getal – met de helft van de lengte van het 2e interval. Enzovoort. Zoals a_2 en a_6 aantonen, hoeven de intervallen niet onsamenhangend te zijn. De unie van deze intervallen omvat uiteraard onze telbare verzameling. En hun totale maat kan weer worden berekend met behulp van de geometrische reeks. Het is maximaal twee keer de lengte van het eerste interval. Maar we kunnen het eerste interval zo klein maken als we willen.

En zo kunnen we de totale maat zo klein maken als we willen. Dat is het. En we kunnen dezelfde techniek gebruiken om deze bewering te bewijzen die we later nodig zullen hebben: de vereniging van aftelbaar veel nulverzamelingen is weer een nulverzameling. Ik zal niet meer zeggen. Mijn suggestie is in plaats daarvan dat je de video pauzeert en dit zelf bewijst. Het bewijs zal vergelijkbaar zijn met het vorige en ook de geometrische reeks gebruiken. Deze kleine oefening zorgt ervoor dat je het concept van null-sets echt onder de knie hebt.

Maar maak niet de fout om null-sets en telbare sets te identificeren! Een beroemd voorbeeld van een ontelbare null-set is de Cantor-set. We zullen het vandaag niet nodig hebben, maar misschien maak ik er ooit een video over. Sommige van de nulverzamelingen die we vandaag zullen tegenkomen, zijn ook ontelbaar. Maar laten we eerst het begrip "bijna allemaal" aanwijzen. Laat A een verzameling zijn met een positieve maat en laat P een eigenschap zijn die elementen van A kunnen hebben of niet. We zullen zeggen dat "bijna alle" elementen van A eigenschap P hebben als de verzameling "uitzonderingen" (elementen die geen P hebben) een nulverzameling is. We hebben net een voorbeeld gezien. Bijna alle reële getallen zijn irrationeel omdat er slechts aftelbaar veel rationale getallen zijn. En bijna alle irrationele getallen zijn transcendentaal omdat de algebraïsche getallen kunnen worden opgesomd. Zie mijn video over algebraïsche getallen voor een bewijs. En vandaag gaan we bewijzen dat bijna alle reals normaal zijn. Maar we moeten eerst definiëren wanneer een getal "normaal" moet zijn. We zijn geïnteresseerd in de cijfers van een getal geschreven in positienotatie. Zelfs als je nog nooit van positionele notatie hebt gehoord, gebruik je het elke dag.

Het decimale systeem dat we meestal gebruiken voor getallen is een voorbeeld van positionele notatie. Als voorbeeld heb ik het begin van π opgeschreven met namen voor de afzonderlijke cijfers. Het cijfer 4 wordt α_{2,10} genoemd omdat het het tweede cijfer na de komma is. Het cijfer 3 aan de linkerkant is α_{0,10} omdat het voor de komma staat. En waarom overal 10? 10 is het zogenaamde "grondtal" van het decimale stelsel. Dat het cijfer 4 op de 2e plaats achter de komma staat, betekent dat het staat voor 4 keer 10 tot de negatieve 2. En het cijfer 3 aan de linkerkant staat voor 3 keer 10 tot 0. De eerste index geeft de (negatieve) exponent aan voor het grondtal 10. Voetnoot: Sommigen van jullie zullen weten dat sommige getallen in positionele notatie op meer dan één manier kunnen worden geschreven. Om uniciteit te garanderen, gebruiken we in dergelijke gevallen de variant met oneindig veel nullen. We doen dit voor het geval dat, maar je zult snel zien dat het niet relevant is voor wat we doen. Maar het decimale systeem is niet het enige. Elk geheel getal groter dan 1 kan de basis zijn voor een positioneel systeem. Hier hebben we weer π, maar dan met grondtal 2. Dit wordt ook wel binaire notatie genoemd.

Nu hebben we twee cijfers voor het radixpunt, het eerste cijfer daarna is 0, enzovoort. We zullen het echter alleen hebben over cijfers na het radix-punt. Daarom heb ik de eerste cijfers grijs gemaakt. We zullen binnenkort werken met limieten van cijferfrequenties. En voor limieten zijn eindig veel cijfers voor het wortelpunt niet relevant. Dus vanaf nu zal ik "na het wortelpunt" niet meer toevoegen. We gebruiken p_{b,n,α,r} om te tellen hoeveel van de eerste n cijfers van α in grondtal r b's zijn. Opluchting! Dat ziet er misschien eerst wat beangstigend uit. Maar het voorbeeld helpt hopelijk. p_{3,50,π,10} telt hoe vaak het cijfer 3 voorkomt tussen de eerste 50 cijfers van π in het decimale systeem, d.w.z. in basis 10. De waarde is 8. (Merk op dat we het cijfer 3 niet hebben geteld voor de komma.) We zijn vooral geïnteresseerd in relatieve frequenties, dus delen we door n. In ons voorbeeld is dat 8/50: 16 procent van de eerste 50 cijfers zijn 3-en. Als alle cijfers met dezelfde frequentie waren voorgekomen, zou het resultaat 10% zijn geweest – omdat er 10 cijfers in het decimale systeem zijn. Dit leidt direct tot onze eerste definitie: een getal wordt "gewoon normaal" genoemd in grondtal r als elk van de r cijfers met dezelfde relatieve frequentie voorkomt in zijn grondtal-r representatie "op de lange termijn".

Om preciezer te zijn: als voor elk cijfer de relatieve frequentie van de laatste dia neigt naar 1/r als n naar oneindig gaat. Laten we eens kijken naar het voorbeeld 1/3. In het binaire systeem is dit 0.01010101010101010101… Het is duidelijk dat de cijfers 0 en 1 op gelijke voet staan. Beide komen voor met relatieve frequentie 1/2. Dus 1/3 is gewoon normaal in basis 2. Maar hetzelfde getal is NIET gewoon normaal in basis 10: het cijfer 3 heeft relatieve frequentie 1 terwijl de andere 9 cijfers relatieve frequentie 0 hebben. Maar alle 10 cijfers moeten relatieve frequentie 1 hebben /10 voor eenvoudige normaliteit. Bedenk als eenvoudige oefening een getal dat gewoon normaal is met grondtal 10.

Simpele normaliteit op zich is echter niet zo interessant. We gaan nu definiëren wat normaliteit in een bepaalde basis is. Om het later gemakkelijker te maken, doen we het op een enigszins betrokken manier. De bedoeling hierachter zal snel duidelijk worden. We noemen een getal α "normaal" in grondtal r als het gewoon normaal is in alle grondtallen r, r^2, r^3, enzovoort, en als hetzelfde ook geldt voor r maal α, r^2 maal α, r^3 keer α, enz.

Laten we nog eens kijken naar 1/3 in binaire notatie. 0 en 1 hebben dezelfde relatieve frequentie, maar dat is niet genoeg voor ons: het paar 01 komt oneindig vaak voor, maar we zien nooit het paar 00. Evenzo hebben we 10 oneindig vaak, maar nooit 11. Om het punt te bewijzen, stellen we n=2 in onze nieuwe definitie en hebben dus de basis 2^2=4. We stellen ook m=3 in en krijgen zo de factor 2^3=8.

Maar 8 keer 1/3 is natuurlijk niet gewoon normaal in de nieuwe basis 4. Dus 1/3 is gewoon normaal, maar niet normaal, in basis 2. Veel kijkers zullen de bedoeling van de definitie inmiddels hebben geraden. Als een getal volgens onze definitie normaal is, dan zal in zijn oneindige reeks cijfers elke eindige reeks cijfers voorkomen met de relatieve frequentie die overeenkomt met zijn lengte – "op de lange termijn", d.w.z. in de limiet. Preciezer gezegd: met r cijfers zijn er r^k verschillende cijferreeksen van lengte k. In de limiet moet elk van hen een relatieve frequentie 1/r^k hebben. Deze eigenschap wordt soms gebruikt als de definitie van normaliteit. En het is inderdaad gelijk aan onze definitie. Maar om één richting van deze gelijkwaardigheid te bewijzen, is enige technische inspanning nodig en die hebben we niet nodig. De richting die hier wordt aangegeven is echter eenvoudig en ik zal het zo onderbouwen.

Maar laten we eerst naar een voorbeeld kijken – de eerste 50 binaire cijfers van een willekeurig getal dat ik verzonnen heb. Hoe vaak komt de reeks 101 hier voor? Ik heb 9 exemplaren gevonden. De pijlen geven aan waar de reeksen beginnen. Merk op dat de sequenties die beginnen op positie 10 en 12 elkaar overlappen. Dat maakt niet uit. We tellen beide. (Dit gebeurt opnieuw op positie 32 en 34.) Er zijn 2^3=8 verschillende reeksen van 3 binaire cijfers. Dus "gemiddeld" zou elk moeten voorkomen met een relatieve frequentie van 1/8. Dit zou 6,25 keer voorkomen in 50 cijfers. In die zin komt 101 "te vaak" voor. Dit zal echter niet relevant zijn voor de limiet. Ik wilde gewoon laten zien waar we het over hebben. Als een ander voorbeeld komt de 4-cijferige reeks 1011 4 keer voor, opnieuw met overlappingen. Omdat er 2^4=16 4-cijferige reeksen zijn, zouden we 50/16=3,125 exemplaren van deze reeks "verwachten". Maar we kunnen hier natuurlijk alleen gehele getallen krijgen. De reeks 0000 komt helemaal niet voor tussen de eerste 50 cijfers. Nogmaals, dit zal de limiet niet veel beïnvloeden, maar laten we zeggen dat 0000 een slechte start had… Maar ik wilde vaststellen waarom het lemma waar is, d.w.z.

Waarom onze definitie van normaliteit inhoudt dat elke eindige cijferreeks voorkomt met de "juiste" relatieve frequentie in de limiet. Ik zal geen formeel bewijs leveren. Dat zou nogal verwarrend zijn. In plaats daarvan zal ik een voorbeeld gebruiken om het hoofdidee te laten zien. Op basis daarvan kun je dan een echt bewijs maken, als je wilt. Ons voorbeeld α zou volgens onze definitie normaal moeten zijn in grondtal 2. We zien het fictieve begin ervan. Laten we eens kijken waarom de reeks 11 de "juiste" relatieve frequentie zal hebben.

Omdat 11 2 cijfers heeft, schrijven we α in grondtal 2^2=4. α moet gewoon normaal zijn in dit grondtal. Dit houdt met name in dat het cijfer 3 in een bepaalde frequentie moet voorkomen als het eerste segment lang genoeg is. Maar het cijfer 3 komt overeen met de rij 11 in grondtal 2. Maar we zijn nog niet helemaal klaar. Als u dit controleert, ziet u dat we tot nu toe slechts de helft van de 11 gebeurtenissen hebben gevonden die we nodig hebben. Daarom vermenigvuldigen we nu α met r^1. Dat betekent dat alle cijfers een plaats naar links worden verschoven. En nu schrijven we het verschoven getal opnieuw in grondtal r^2. We zullen opnieuw een voldoende aantal 3-en vinden als het eerste segment lang genoeg is. En dit zijn weer 11 reeksen in de originele basis. Maar dit zijn andere gebeurtenissen dan die we al kenden, want alles werd verschoven! Dus hebben we het aantal gevonden 11 sequenties ongeveer verdubbeld.

Als je goed kijkt, zul je zien dat dit werkt. Zoals ik al zei, dit is geen formeel bewijs. Maar wat overblijft zijn slechts vuile details en die laat ik aan jou over als je geïnteresseerd bent. We kunnen nu eindelijk definiëren wat een normaal getal is: een getal dat normaal is in elk mogelijk grondtal. Omdat we niet meer naar een basis verwijzen , mag het duidelijk zijn dat dit een nieuw begrip is. Maar men zegt soms "absoluut normaal" om het onderscheid duidelijker te maken. Wat weten we over normale getallen? Rationale getallen zijn natuurlijk niet normaal. Ze zijn niet eens normaal in een vaste basis, omdat ze altijd periodieke herhalingen in hun cijferreeksen hebben. En dat is zo ongeveer het tegenovergestelde van normaliteit. Dus, hoe zit het met irrationele getallen? Hoewel normale getallen meer dan een eeuw geleden werden geïntroduceerd, is het tot nu toe niemand gelukt om te bewijzen dat een specifiek getal normaal is.

Er wordt aangenomen dat getallen als π, e of de vierkantswortel van 2 normaal zijn, maar of dit echt waar is, is een van de beroemde onopgeloste problemen van de wiskunde. We weten niet eens of deze cijfers gewoon normaal zijn voor een bepaalde basis. Het is dus behoorlijk verbazingwekkend dat normale getallen de overgrote meerderheid van alle getallen vormen. De nummers die niet normaal zijn, zijn zeldzame uitzonderingen. Dat is de titel van de video: bijna alle reële getallen zijn normaal! Deze stelling wordt meestal toegeschreven aan de Franse wiskundige Émile Borel die in 1909 normale getallen introduceerde en de stelling bewees. Ik heb het originele bewijs van Borel niet gelezen, omdat mijn Frans niet goed genoeg was, maar sommige experts beweren tegenwoordig dat het bewijs "onherstelbaar gebrekkig" was en blijkbaar was Borel er zelf ook niet blij mee.

Maar inmiddels zijn er veel bewijzen van deze stelling die niet fout zijn en die gebruik maken van verschillende methoden. Sommigen gebruiken zware machines, terwijl anderen als elementair worden beschouwd. Het is echter mijn indruk dat een bijzonder gemakkelijk bewijs in de vergetelheid raakte – of überhaupt nooit echt werd gewaardeerd. Dit bewijs zullen we nu bekijken. Enkele jaren na Borel schreef de Duitse wiskundige Felix Hausdorff een invloedrijk boek genaamd "Grundzüge der Mengenlehre". Het was het eerste uitgebreide leerboek over verzamelingenleer ooit. Hausdorff behandelde ook topologie en maattheorie, destijds beschouwd als deelgebieden van de verzamelingenleer. Gaandeweg, en zonder zelfs maar de normaliteit te definiëren, bewees Hausdorff heel elegant dat bijna alle getallen gewoon normaal zijn in basis 2. Hij sloot af met de opmerking dat het "duidelijk" zou zijn dat dit ook geldt voor andere bases. Maar hij gaf geen idee hoe dit bedoeld was. Ik kon dit bewijs niet vinden in latere edities van het boek. Ik kwam dit bewijs per ongeluk tegen omdat ik een video wilde maken over normale getallen. En ik vond het helemaal niet duidelijk hoe het bewijs gegeneraliseerd kon worden.

Het kostte me verschillende mislukte pogingen om dit uit te zoeken. Ik vermoed dat niemand het tot nu toe heeft geprobeerd. Althans, alle andere bewijzen van deze stelling, inclusief die welke als elementair worden beschouwd, zijn naar mijn mening minder gemakkelijk en elegant. Daarom laat ik nu het bewijs van Hausdorff zien, dat ik heb gegeneraliseerd naar willekeurige bases, en daarna laat ik zien hoe het de stelling van Borel impliceert. Zoals gebruikelijk in mijn video's, werk ik soms met voorbeelden. We concentreren ons op het interval [0,1), omdat we alleen geïnteresseerd zijn in wat er na het radixpunt gebeurt. Voor het voorbeeld heb ik de relatief kleine basis 3 gekozen, omdat anders de volgende stap moeilijk te visualiseren zou zijn.

Hoeveel getallen (in dit grondtal) hebben precies twee nullen tussen de eerste cijfers? Preciezer gezegd, we willen niet weten hoeveel het er zijn, we willen de maat van de verzameling van die getallen weten. Overigens is het cijfer nul niet bijzonder. We hadden ook elk ander cijfer kunnen gebruiken. In basis 3 verdeelt het eerste cijfer [0,1) in drie intervallen van lengte 1/3. Alle getallen in het eerste derde beginnen met 0, alle getallen in het tweede derde beginnen met 1, enzovoort. We delen elk van deze drie delen opnieuw om negen intervallen van lengte 1/9 te krijgen. (Merk op dat 9 3 in het kwadraat is. ) Alle getallen in het vierde interval, en alleen die, beginnen bijvoorbeeld met 10. Met drie cijfers hebben we al 27=3^3 mogelijkheden. Ik heb "0" weggelaten. en "…" zodat de nummers op de dia passen. We kunnen de volgende eenvoudige regel afleiden: Alle getallen die beginnen met een gegeven reeks van n cijfers nemen een interval in van lengte 1/r^n als r het grondtal is. Hier zien we in oranje alle intervallen waar er precies twee nullen tussen de eerste vier cijfers staan.

Er is niet genoeg ruimte, dus slechts een paar zijn gemarkeerd met nummers. We hebben 24 intervallen. Zie je waarom dit 24 is? Dat is een combinatorische vraag. Hoe zit het met het pauzeren van de video? Er zijn 4 kies 2 manieren om 2 van de eerste 4 posities te selecteren – voor de nullen. En voor de andere 4-2 posities, die niet worden gebruikt voor de nullen, zijn er 3-1 manieren waarop elk een ander cijfer kan selecteren, 1 of 2. Als we vermenigvuldigen met de lengte van de intervallen, dan hebben we de maat van de oranje stel. En dit kan gemakkelijk worden gegeneraliseerd: als een bepaald cijfer verondersteld wordt precies p keer tussen de eerste n cijfers voor te komen, dan heeft de reeks getallen met deze eigenschap de maat die we hier zien.

We hebben zojuist 3 vervangen door r, 4 door n en 2 door p. Ons doel is om aan te tonen dat de verzameling getallen die niet normaal is een nulverzameling is. We doen dit stap voor stap en beginnen met de getallen niet gewoon normaal tot een vaste basis r. We maken de set nog kleiner door een specifiek cijfer b te kiezen. b wordt verondersteld "rangen te breken" en eenvoudige normaliteit te voorkomen.

Dat betekent dat de limiet van de relatieve frequenties in de cijferreeksen van bepaalde getallen niet 1/r is. Dit moet al in bepaalde beginsegmenten zichtbaar zijn. We kiezen dus een "minimale afwijking" ε, en we noemen M_b(n,ε) de reeks getallen in [0,1) waar de relatieve frequentie van het voorkomen van b onder de eerste n cijfers afwijkt van 1/r met minste ε. We kunnen de maat van deze set berekenen met behulp van de formule van de laatste dia. We hoeven alleen maar alle p op te tellen met de gegeven eigenschap. En nu willen we een bovengrens voor deze maat. Nu, helaas, een beetje rekenwerk. De volgende stappen zijn een beetje vervelend, maar niet moeilijk te begrijpen. Er zijn twee manieren om dit deel van de video te bekijken: pak potlood en papier, pauzeer de video zo nu en dan en voer de berekeningen zelf uit.

Of schakel de "algebra automatische piloot" van Matholoog in en laat me dit voor je zingen. Hoe dan ook, ik ga nu beginnen. We fixeren positieve gehele getallen s en n en noteren de som die we hier zien. We beschouwen deze som als een functie f_0 van x en y. Vervolgens definiëren we recursief f_1, f_2, enzovoort. Als de vreemde symbolen voor jou Grieks zijn: dat zijn partiële afgeleiden. Maar je hoeft ze niet te kennen. Behandel y in de linkeruitdrukking als een constante in f_k(x,y) en differentieer ten opzichte van x. Laat aan de rechterkant x constant zijn en differentiëren ten opzichte van y. Vermenigvuldig de linkerhelft met x, de rechterhelft met y en trek af. U hoeft alleen maar te weten hoe u polynomen kunt differentiëren. En laat je niet afleiden door de (irrelevante) constante factoren. Probeer het! Als je niet misrekent, zie je dat de uitdrukking niet veel verandert.

Het is altijd dezelfde factor waarmee elke som wordt vermenigvuldigd. Is dit wat je hebt? Helaas moet de slechtste berekening nog komen. U zult de som van de binominale stelling hebben opgemerkt. We kunnen dus f_0(x,y) zo schrijven. Als je ijverig en moedig bent (of differentiatie wilt oefenen), bereken dan opnieuw f_4(x,y) met behulp van de uitdrukking rechts. Ik heb het ook gedaan, hoewel ik noch ijverig noch moedig ben, en ik vertel je liever niet hoeveel fouten ik heb gemaakt. Maar u kunt ook een computeralgebrasysteem gebruiken. We leven tenslotte niet meer in de tijd van Hausdorff. Hoe dan ook, het resultaat is deze lelijke uitdrukking. Maar nu maken we een slimme vervanging: we schrijven r voor s+1 en vervangen x en y door de hier getoonde waarden. Dan wordt s*x^s – y nul en verdwijnen de eerste twee sommen van Q. Met meer moedige berekeningen (of door opnieuw de computer te raadplegen) kunnen we meer vereenvoudigingen maken en eindigen met de laatste regel die hier wordt weergegeven. En dit was echt de moeite waard. Ten eerste hangt de uitdrukking nu alleen af ​​van r en n.

Ten tweede hebben we voor vaste r een tweedegraads polynoom in n. Zoals bekend kunnen we nu C*n^2 gebruiken als bovengrens waarbij C constant is. We voegen nu de twee laatste dia's samen, d.w.z. de twee manieren om f_4 te schrijven. De som in het midden is de laatste regel van de voorlaatste dia. Aan de rechterkant is de bovengrens die we zojuist hebben afgeleid. Aan de linkerkant hebben we de vervanging van de laatste dia gemaakt. Dit lijkt bijna op de maatregel die we aan het onderzoeken waren (en waar we zo op terugkomen). Maar eerst delen we beide zijden door (rn)^4. Dit is de band die we echt nodig hebben. D is natuurlijk nog steeds constant ten opzichte van n. D is gewoon C/r^4. Deze ongelijkheid ziet er misschien technisch en onopvallend uit, maar het is de kern van wat volgt. We keren nu terug naar de dia over de verzameling M_b(n,ε).

We hadden net de maat van deze set berekend. We vermenigvuldigen deze maat nu met ε^4. Door de definitie van de som hebben we de bovengrens die hier wordt weergegeven. Maar dit is precies wat we net hebben gedaan! We kunnen dus D/n^2 als bovengrens gebruiken. Als we delen door ε^4, krijgen we de bovengrens erboven. Het belangrijkste punt is dat de maat maximaal in de orde van 1/n^2 is als alles behalve n vaststaat. Dat is wat we nu gaan gebruiken.

Onthoud dat het cijfer b bedoeld was om "rangen te breken" door niet de juiste relatieve frequentie te hebben. Maar om dit in de limiet te laten gebeuren, moet het voor oneindig veel n gebeuren. We schrijven M_b(ε) voor de reeks getallen waar dat gebeurt. Een getal α is dus een element van deze verzameling als er voor elke m een ​​n is die niet kleiner is dan m zodat α in M_b(n,ε) zit. Deze eigenschap wordt hier uitgedrukt met vaste bewerkingen. De tweede regel is voor "er is een n" en de eerste regel komt overeen met "voor alle m". De tweede regel levert een bovengrens voor de maat van een S_b(m,ε) verzameling. De eerste ongelijkheid is een gevolg van de σ-additiviteit van λ. De tweede ongelijkheid komt van de laatste dia. Bekijk de serie hiernaast van dichtbij! Ken je het? Ja, dat is de reeks van Euler's "Basel-probleem" – die convergeert. Meer precies, het is een staart van deze serie vanaf m. Vanwege de convergentie zal deze staart willekeurig klein worden als m groot genoeg is. En aangezien M_b(ε) het snijpunt is van alle S_b(m,ε), moet het een nulverzameling zijn.

Dus, in de zin van de Lebesgue-maat, zijn er maar heel weinig getallen waarbij b "rangen breekt" met ten minste ε. Nu zijn we over de bult heen! De rest is in wezen routinemaattheorie, aangezien we ons lemma over null-sets een paar keer zullen toepassen. Ik heb het ter referentie opgebaggerd: de vereniging van aftelbaar veel nulsets is weer een nulset. Als eerste stap zullen we het bewijs voltooien dat bijna alle getallen gewoon normaal zijn in onze vaste basis r. We herinneren ons dat eenvoudige normaliteit betekent dat de relatieve frequentielimiet 1/r is voor ALLE cijfers. Dus als een getal niet gewoon normaal is, dan bestaat voor ten minste één cijfer b de limiet niet of is deze niet 1/r. Met andere woorden, er is een positieve ε zodat voor oneindig veel n de relatieve frequentie van b tussen de eerste n cijfers afwijkt van 1/r met ten minste ε. Maar dat is gecodeerd in onze M_b(ε) sets. We voegen nu alle getallen waar eenvoudige normaliteit niet werkt vanwege b samen tot een verzameling M_b en schrijven deze zo op.

Het volstaat om alleen verzamelingen van de vorm M_b(1/k) te gebruiken: als de afwijking minimaal ε is, is deze zeker groter dan 1/k als k groot genoeg is. Maar zoals we weten dat de verzamelingen M_b(1/k) nulverzamelingen zijn, is M_b – de vereniging van aftelbaar veel nulverzamelingen – ook een nulverzameling. Als een getal van [0,1) niet gewoon normaal is in grondtal r, dan is tenminste een van de cijfers 0 tot r-1 de schuldige. Maar voor elk van deze cijfers is de corresponderende set een nulset. Opnieuw het lemma gebruikend (voor eindig veel verzamelingen), is hun unie ook een nulverzameling. We hebben zojuist aangetoond dat bijna alle getallen gewoon normaal zijn in grondtal r – met r willekeurig omdat we geen aannames over r gebruikten. Voetnoot: we kunnen de beperking tot het interval [0,1) laten vallen als we dat willen.

Als we in plaats daarvan werken met een ander interval tussen twee naburige gehele getallen, veranderen alleen de cijfers voor het radixpunt. En deze zijn niet relevant. Aangezien de verzameling reële getallen de telbare unie is van dergelijke intervallen, is de verzameling van ALLE reële getallen die niet gewoon normaal zijn in een bepaald grondtal een nulverzameling. Dat was de derde toepassing van het "telbare vakbondslemma" op deze dia. Maar we zijn nog niet helemaal klaar! We schakelen nu over van eenvoudige normaliteit naar normaliteit. Hierbij wordt onder andere vermenigvuldigd met factoren van de vorm r^m. We gebruiken opnieuw een voorbeeld in de basis r=3. Als we het interval [0,1) vermenigvuldigen met r^2=9, krijgen we het interval [0,9). Hier zijn enkele willekeurige getallen in [0,1). Vermenigvuldiging met 3^2 "spreidt ze uit" over [0,9). Maar uiteindelijk landen ze allemaal in die [m,m+1) intervallen waar we het net over hadden. En in elk van deze negen intervallen is er alleen een nulreeks getallen die niet gewoon normaal zijn in grondtal r.

Het hele interval [0,9) bevat dus alleen een nulset van deze uitzonderingen. Dat impliceert dat vermenigvuldiging van getallen in [0,1) met r^2 alleen een nulreeks getallen kan opleveren die niet gewoon normaal zijn in r. Dit geldt uiteraard voor elke basis r en elke factor r^m. En, je raadt het al, we voegen al deze uitzonderingen samen door het lemma over telbare vakbonden opnieuw toe te passen. Ik ben trouwens gestopt met tellen. Hoe vaak hebben we dit lemma al toegepast? Nou, we hebben het nog niet voor de laatste keer toegepast. Wat we net deden voor basis r, doen we nu ook voor de krachten van deze basis.

We hebben ontelbaar veel machten… …en voilà, we kunnen het woord "simpel" uit de laatste stelling schrappen. In een gegeven basis zijn bijna alle getallen normaal. En wat is de laatste stap? Rechts! We passen ons favoriete lemma voor de laatste keer toe, dit keer op alle mogelijke bases, en we hebben de stelling nu in al zijn glorie bewezen. We kennen nog steeds geen enkel normaal nummer, maar we kunnen er zeker van zijn dat bijna alle nummers normaal zijn.

En misschien vind JIJ op een dag een normaal nummer….